Ecuaciones Diferenciales de Ricatti y Bernoulli

Ricatti y Bernoulli

Ricatti

La ecuación de Ricatti es una forma no lineal de ecuación diferencial de primer orden que se escribe comúnmente como:

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2\)

donde ( \(\displaystyle q_0(x)\) ), ( \(\displaystyle q_1(x)\) ), y ( \(\displaystyle q_2(x)\) ) son funciones conocidas de ( \(\displaystyle x\) ). A menudo, estas ecuaciones no tienen una solución en términos de funciones elementales, a menos que tengamos una solución particular, en cuyo caso podemos reducirla a una ecuación de Bernoulli.

Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial no lineal que tiene la siguiente forma:

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n \quad (n \neq 0, n \neq 1)\)

Estas se pueden resolver realizando un cambio de variable que la transforme en una ecuación lineal. La sustitución común es (\(\displaystyle v = y^{1-n} \)), lo cual simplifica la ecuación de Bernoulli a una forma lineal.

Ambas, las ecuaciones de Ricatti y Bernoulli, ilustran las complejidades que pueden surgir con ecuaciones diferenciales no lineales. A diferencia de las lineales y exactas, estas pueden no tener soluciones que se expresen en términos de funciones elementales, pero la ecuación de Bernoulli es reducible a una forma lineal y tiene un método sistemático para su resolución.

Ejemplos

Ricatti:

Ejemplo de ecuación:

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = x^2 + xy + y^2\)

Sin una solución particular conocida, esta ecuación puede ser desafiante de resolver y podría requerir métodos numéricos o aproximaciones.

Bernoulli:

Ejemplo de ecuación:

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} =y^3\)

Realizamos el cambio de variable ( \(\displaystyle v = y^{-2}\) ), y entonces ( \(\displaystyle \frac{dv}{dx} = -2y^{-3}\frac{dy}{dx}\) ), convertimos la ecuación original en una forma lineal en términos de ( \(\displaystyle v\) ) y ( \(\displaystyle x\) ):

\(\displaystyle \frac{dv}{dx} – \frac{2v}{x} = -2\)

Ahora se puede resolver esta última ecuación utilizando el método del factor integrante.