Ecuaciones Diferenciales Homogeneas y Separables

Clasificación de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Las ecuaciones diferenciales de primer orden son una de las clases de ecuaciones diferenciales más estudiadas debido a su amplia aplicabilidad en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. Estas ecuaciones permiten modelar fenómenos que involucran tasas de cambio y son la puerta de entrada al fascinante mundo de la modelización matemática. A continuación, se describen varias clases de ecuaciones diferenciales de primer orden, pares por su relevancia y propiedades distintivas.

Homogéneas y Separables

Homogéneas

Una ecuación diferencial de primer orden se denomina homogénea si puede escribirse en la forma:

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)\)

Donde ( \(\displaystyle f\) ) es una función de una sola variable. Las ecuaciones homogéneas se pueden resolver mediante la sustitución ( \(\displaystyle v = \frac{y}{x}\) ), que convierte la ecuación en una forma separable.

Separables

Las ecuaciones diferenciales separables son aquellas que pueden expresarse como el producto de una función de ( x ) y una función de ( \(y\) ). Matemáticamente, toman la forma:

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\)

La solución se obtiene al separar las variables y al integrar ambos lados de la ecuación.

Ambas ecuaciones, homogéneas y separables, comparten la característica de que pueden ser manejadas mediante manipulaciones algebraicas para alcanzar una forma en la que la integración es posible. La sustitución y la separación de variables son las claves para resolverlas.

Ejemplos

Homogénea:

Ejemplo de ecuación:

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x}\)

Sustitución ( \( \displaystyle v = \frac{y}{x}\) ), (\(\displaystyle y = vx\) ), y (\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}\) ), lo que nos lleva a resolver una ecuación separable en ( \(\displaystyle v\) ).

Separable:

Ejemplo de ecuación:

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = x^2 y^2\)

Se puede integrar directamente después de separar las variables:
\(\displaystyle \int \frac{1}{y^2} dy = \int x^2 dx\)