Ecuaciones Diferenciales Lineales y Exactas

Lineales y Exactas

Lineales

Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tienen la forma:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$

Donde ( $\displaystyle p(x)$ ) y ( $\displaystyle q(x)$ ) son funciones conocidas de ($\displaystyle x$ ). Estas ecuaciones se caracterizan por tener soluciones que pueden ser encontradas mediante el método del Factor Integrante.

Exactas

Una ecuación diferencial exacta de primer orden se presenta cuando existe una función ( $\displaystyle F(x, y)$ ) tal que su diferencial total coincide con la ecuación dada:

$\displaystyle M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$

donde ( $\displaystyle M(x, y) = \frac{\partial F}{\partial x}$ ) y ( $\displaystyle N(x, y) = \frac{\partial F}{\partial y}$ ). Para que la ecuación sea exacta, es necesario que ( $\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ ). Si esta condición no se cumple naturalmente, a veces es posible multiplicar por un factor integrante para convertir una ecuación inexacta en una exacta.

Las ecuaciones lineales y exactas comparten la propiedad de tener un mecanismo estructurado para encontrar una solución. Mientras que el mecanismo para las lineales está en el uso del factor integrante, para las exactas se basa en la existencia de una función potencial cuyas derivadas parciales describen el sistema.