Ecuaciones Diferenciales de Lagrange y Clairaut

Lagrange y Clairaut

Lagrange

Las ecuaciones diferenciales de Lagrange son un tipo especial de ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden representar en la forma de un problema de valores en la frontera:

\(\displaystyle F(x, y, y’) = 0\)

Su forma estámndar es:

\(\displaystyle y=xf'(y’)+g(y’)\)

Éste tipo de ecuación diferencial no – lineal, se resuelven realizando la sustitución:

\(\displaystyle y’=p\)

y luego derivando respecto de la variable independiente (\(\displaystyle x\) para éste caso) y posteriormente integrando la ED lineal en \(\displaystyle x\), prcisamente para encontrar encontrando una familia de soluciones, que podrían dar lugar a una solución en forma de una envolvente de una familia de curvas. Sin embargo, no todas las ecuaciones de Lagrange tienen formas cerradas y podrían requerir métodos numéricos para su solución.

Clairaut

Las ecuaciones de Clairaut son un caso particular de las ecuaciones diferenciales de lagrange vistas arriba, por lo que el método de solución es el mismo. Son un tipo de ecuación diferencial en el que la función y su derivada están relacionadas linealmente, su forma estándar es:

\(\displaystyle y = xy’ + g(y’)\)

donde ( \(\displaystyle g\) ) es una función conocida de ( \(\displaystyle y’\) ). Una de las características interesantes de las ecuaciones de Clairaut es que tienen tanto una solución general como una solución singular. La solución general se compone típicamente de una familia de líneas rectas, mientras que la solución singular es la envolvente de estas líneas.

Ambas, las ecuaciones de Lagrange y las de Clairaut implican métodos de solución que buscan una relación implícita entre las variables y sus derivadas, contrastando con las ecuaciones separables o lineales que a menudo permiten una solución explícita más directa.

Las ecuaciones diferenciales de Lagrange y de Clairaut proporcionan ejemplos interesantes de cómo una ecuación diferencial puede tener soluciones que no necesariamente siguen un formato estándar, retando así a los métodos de solución tradicionales y ofreciendo oportunidades para una exploración matemática más profunda.

Ejemplos

Clairaut:

Ejemplo de ecuación:
Para resolver la ecuación diferencial de Clairaut utilizando la sustitución \(p = y’\), seguimos los siguientes pasos:

Dada la ecuación de Clairaut:

\(\displaystyle y = xy’ + g(y’)\)

Solución general

Hacemos la sustitución \(p = y’\), donde \(p\) es una constante (ya que la derivada de \(y\) con respecto a \(x\) es constante para una solución particular en la familia de rectas solución), es decir podemos sustituir: \(p=c\), de modo que la solución general es:

\( y = xp + g(p) . . . (1)\)

\(\displaystyle y=cx + g(c) . . (2)\)

Esto es más facil de entender si diferenciamos ambos lados de esta ecuación con respecto a\(x\):

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = p + x \frac{dp}{dx} + g'(p)\frac{dp}{dx} . . . (3)\)

Y dado que \(\displaystyle p = y’\), reemplazamos \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) por \(\displaystyle p\). De modo que, como \(p\) es una constante para una línea específica en la familia de soluciones, \(\displaystyle \frac{dp}{dx} = 0\). Integrando ésta última ecuación:

\(\displaystyle p=c\)

Que sustituyendola en (\(\displaystyle 1\)) obtenemos (\(\displaystyle 2\)).

Solución singular

Sin embargo, para encontrar la solución singular, tomamos en consideración que el término \(\frac{dp}{dx}\) podría no ser cero si consideramos que la envolvente de la familia de soluciones también satisface la ecuación original.

Por lo tanto, la solución singular se encuentra al igualar \(\frac{dp}{dx}\) al término que acompaña a \(\frac{dp}{dx}\) en la ecuación resultante de la diferenciación, lo que lleva a una condición donde se establece una relación entre \(p\) y \(x\). En este caso, no hay términos que acompañen a \(\frac{dp}{dx}\) porque se cancelan al diferenciar, lo que implica que la solución singular no puede encontrarse a través de este método.

Para encontrar la solución singular de la ecuación de Clairaut, necesitamos observar la condición implícita que nos dan los términos que involucran diferenciación con respecto a \(\displaystyle x\).

La condición para una solución singular no se basa en hacer cero el término \(\displaystyle \frac{dp}{dx}\), sino en la posibilidad de que \(\displaystyle y\) y \(\displaystyle p\) puedan ser función de \(\displaystyle x\) de otra manera. Por lo tanto, para encontrar la solución singular, igualamos la derivada original de \(y\) a \(p\):

\( \displaystyle y’ = p \)

Luego, diferenciamos la ecuación \(\displaystyle y = xp + g(p)\) con respecto a \(\displaystyle x\), sabiendo que \(\displaystyle p\) ahora no se trata como una constante, sino como una función de \(\displaystyle x\):

\( \displaystyle y’ = p + x \frac{dp}{dx} + g'(p) \frac{dp}{dx}\)

Pero sabemos que \(\displaystyle y’ = p\), entonces, podemos despejar esta expresión para \(\displaystyle p\):

\( \displaystyle p = p + x \frac{dp}{dx} + g'(p) \frac{dp}{dx} \)

Cancelamos el término \(p\) en ambos lados de la ecuación y nos queda:

\( \displaystyle 0 = x \frac{dp}{dx} + g'(p) \frac{dp}{dx} \)

Como estamos buscando una solución más allá de la familia de rectas solución donde \(\frac{dp}{dx} = 0\), necesitamos considerar \(\frac{dp}{dx} \neq 0\). Esto nos permite cancelar \(\frac{dp}{dx}\):

\( \displaystyle 0 = (x + g'(p))\frac{dp}{dx} \)
\(\displaystyle 0 = x + g'(p) \)

Así, la solución singular a la ecuación de Clairaut se encuentra satisfaciendo:

\(\displaystyle x = -g'(p) \)

Y recordando \(\displaystyle y = xp + g(p)\), sustituimos \(\displaystyle x\) en términos de \(p\):

\( \displaystyle y = -g'(p)p + g(p) \)

Estas serán las expresiones paramétricas para la curva solución singular, con \(p\) como parámetro.

En resumen, la ecuación de Clairaut tiene una solución general:

\(\displaystyle y = xp + g(p) \)

y una solución singular:

\( \displaystyle \begin{cases} x = -g'(p), \hspace{1em} y = -g'(p)p + g(p) \end{cases} \)

con \(p\) actuando como parámetro y donde \(g'(p)\) representa la derivada de \(g\) con respecto a ( \(p\) ). Estas dos relaciones definen paramétricamente la solución singular de la ecuación diferencial de Clairaut.

Lagrange:

Como sabemos, la ED de Clairaut es un caso especial de la ED de Clairaut, por lo que la metodología es la misma.

\( \displaystyle y = f'(\phi(x)y + g(x)) \)

En este caso, resolver la ecuación de Lagrange puede implicar encontrar la función ( \(\displaystyle \phi\) ) y ( \(\displaystyle g\) ) que satisfaga la relación dada.