Estrategia para resolver facilmente un ED de primer orden lineal o no lineal
Resumen
Al comparar todos estos tipos de ecuaciones, las homogéneas y separables son por lo general más directas de resolver, debido a que involucran manipulaciones algebraicas más simples y técnicas de integración básicas. Las lineales y exactas requieren métodos más estructurados y la aplicación de procedimientos como factores integrantes o la búsqueda de funciones potenciales, respectivamente. Las ecuaciones de Bernoulli, aunque no lineales, permiten una transformación que las reduce a una ecuación diferencial lineal, lo que facilita su resolución. Ricatti y Clairaut se desvían de estos caminos más trillados, ofreciendo un territorio más complejo, a menudo requiriendo soluciones particulares o enfrentándonos con formas de solución más inusuales como las envolventes de una familia de curvas.
Para poner estos conceptos en contexto académico y facilitar su aplicación, se compone un cuadro sinóptico que resume las características de cada una de las ecuaciones descritas anteriormente:
Este cuadro proporciona una vista rápida de los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden consideradas, junto con las formas estándar asociadas y las estrategias recomendadas para encontrar soluciones. A continuación, se presentan ejemplos de cada tipo de ecuación con sus respectivas soluciones:
| Ecuación | Forma estándar | Método de solución |
|---|---|---|
| Separable | \(\frac{dy}{dx}= g(x)h(y)\) | Separación de variables e integración |
| Homogénea | \(\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)\) | Sustitución y separación de variables |
| Lineal | \(\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)\) | Factor Integrante |
| Exacta | \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\) | Función potencial \(F(x, y)\) |
| Bernoulli | \(\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n\) | Sustitución \(v = y^{1-n}\), ecuación lineal |
| Ricatti | \(\frac{dy}{dx} = q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2\) | Solución particular o métodos numéricos |
| Clairaut | \(y = xy’ + g(y’)\) | Sustituir \(p=\frac{dy}{dx}\), análisis de soluciones singulares y generales |
| Eliminación de la variable dependiente | \(f(x,y,y’)=0\) | Sustituir \(p=\frac{dy}{dx}\), resolver simplificando |
Estrategia para solucionar una ED de primer orden
