Introducción
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NOTA (fe de erratas): la ecuación de movimiento debio ser: \(\displaystyle x(t)= \frac{1}{2}at^{2}+bt+c\), donde la correción sería cambiar \(-g\) por \(a\), para denotar un movimiento uniformemente acelerado en el plano horizontal.
Crecimiento Exponencial
Crecimiento Poblacional Ideal Contra Real
El modelo matemático propuesto por Yomas Malthus (Clérigo anglicano y erudito británico 1766 – 1834) modela la variación de la población en el tiempo, ecuación (1), sin embargo, éste modelo no considera situaciones fundamentales para el crecimiento de una población como los recursos con los que cuenta el medio ambiente para sostener ese crecimiento (suficiente alimento por ejemplo).
Ecuación Diferencial:
\( \Large \frac{dP}{dt} = \kappa P \) …(1)
$$ \Large \Downarrow $$
Función Encontrada:
$$ \Large P(t) = P_0e^{\kappa t}$$
Una realción más real para el crecimento problacional, lo proporciona la ecuación logística:
$$\Large P(t) = kP\left(1 – \frac{k}{P_c}P\right)$$
donde:
\(P\): Población enel tiempo \(t\)
\(k\): Tase de crecimiento poblacional
\(P_c\): Población crítica (límite) que puede soportar el habitad
Movimientos Eléctricos
Variación de la corriente eléctrica en un circuito RL en serie
Para cuantificar la corriente en un circuito eléctrico se modela matemáticamente el mismo utilizando las leyes de kirchoff para circuitos eléctricos.
El modelo resultante para un circuito conectado en serie entre un inductor, una resistencia y una fuente de voltaje (cosntante, en el ejemplo), queda determinado por la ecuación 2.
\( \Large L\frac{di}{dt}+Ri = V \) …(2)
$$ \Large \Downarrow $$
Función encontrada
\begin{equation} \Large i(t) = – \frac{3}{5} e^{- 500 t} + \frac{3}{5} \end{equation}
Donde: \(L=0.1, R=50, V=30\) y
\(i_0 = 0, t_0 = 0\), entonces:
Buenas noches Profesor
Referente a lo que comenta en esta primer clase mi duda es la siguiente ¿cuál es la diferencia entre pronosticar el comportamiento de un fenómeno empleando las Ecuaciones Diferenciales y el empleo de la Regresión Lineal de la Estadística?
Quedo pendiente de sus comentarios
Saludos¡¡
Gracias por tu pregunta.
Existen en la actualidad varias técnicas de aproximar un comportamiento de un fenómeno físico, entre ellas ésta la estadística y los diversos métodos de ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales tienen el objetivo primario de modelar la función que a su vez modela el fenómeno observado, asumiendo, en general, que es un fenómeno contínuo -aunque puede integrar algunos fenómenos no contínuos como la función delta de dirac, y para tal efecto utiliza diversas técnicas de aproximación-solución que se aplican de acuerdo al tipo de fenómeno.
La regresión lineal es solo una técnica que permite pronosticar el comportamiento de un fenómeno donde la relación entre sus variables no es evidente; es decir, si estas comparando variables como: anzuelos contra cantidad de pezcados. La relación que se obtiene en la regresión lineal es limitada por la naturaleza que te he descrito.
Si quieres modelar un fenómeno con mayor presicíón, donde la relación entre sus varialbes es evidente, las técnicas de ecuaciones diferenciales son las indicadas
Es decir, que las ecuaciones diferenciales son mas robustas y representan la realidad objetiva o por lo menos se acerca a ella, mientras que la regresión es una relación numérica?
Si, exacto.
Las EDs provienen de leyes físicas y matemáticas bien establecidas, aunque sus parámetros podrían incluir funciones que generan ruido, terminos estocásticos que introducen variabilidad. Esto refleja la realidad de muchos sistemas, donde factores impredecibles o fluctuaciones aleatorias pueden influir en el comportamiento.
En términos estrictamente matemáticos, se podría decir que las ecuaciones diferenciales son herramientas matemáticas que modelan el cambio y las tasas de cambio en una variable, lo que las hace especialmente adecuadas para describir fenómenos dinámicos. Por otro lado, la regresión se utiliza para establecer relaciones estadísticas entre variables, pero no necesariamente captura aspectos dinámicos o de cambio continuo. En este sentido, las ecuaciones diferenciales podrían considerarse más robustas para modelar sistemas dinámicos en comparación con la regresión, que se centra en relaciones numéricas estáticas.